Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 7 - Aproximación polinomial

Anterior Siguiente
1. Calcular el polinomio de Taylor de orden nn de ff centrado en x0x_{0}:
e) f(x)=tan⁡(x),n=2,x0=π4f(x)=\tan (x), n=2, x_{0}=\frac{\pi}{4}

Respuesta

Ahora nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 22 centrando en x=π4x=\frac{\pi}{4} de la función f(x)=tan⁡(x)f(x)=\tan (x). 

Sabemos que la estructura del Taylor que estamos buscando es esta:

p(x)=f(π4)+f′(π4)(x−π4)+f′′(π4)2!(x−π4)2 p(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right) + f'\left(\frac{\pi}{4}\right)(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{f''\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2!}(x - \frac{\pi}{4})^2

Arrancamos entonces a buscar los elementos que necesitamos para completar nuestra respuesta:

f(x)=tan⁡(x) f(x) = \tan(x)
f(π4)= tan⁡(π4)= 1 f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

Ahora arrancamos con las derivadas. Acordate que la derivada de tan⁡(x)\tan(x) ya la calculamos en la guía de derivadas, salía con la regla del cociente usando que tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} y era:

f′(x)= 1cos⁡2(x)  f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} 

f′(π4)=2 f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2

Vamos ahora con la derivada segunda, si usas regla del cociente te queda:

f′′(x)=2cos⁡(x)sin⁡(x)cos⁡4(x)= 2sin⁡(x)cos⁡3(x)f''(x) = \frac{2\cos(x) \sin(x)}{\cos^4(x)} = \frac{2 \sin(x)}{\cos^3(x)}

f′′(π4) =4f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4

Listooo! Reemplazamos ahora en la estructura de nuestro Taylor:

p(x)=1+2(x−π4)+42(x−π4)2 p(x) = 1 + 2(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{4}{2}(x - \frac{\pi}{4})^2

p(x)=1+2(x−π4)+2(x−π4)2 p(x) = 1 + 2(x - \frac{\pi}{4}) + 2(x - \frac{\pi}{4})^2

Por lo tanto, este es el polinomio de Taylor que estábamos buscando :)
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.