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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
1.
Calcular el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ centrado en $x_{0}$:
e) $f(x)=\tan (x), n=2, x_{0}=\frac{\pi}{4}$
e) $f(x)=\tan (x), n=2, x_{0}=\frac{\pi}{4}$
Respuesta
Ahora nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $2$ centrando en $x=\frac{\pi}{4}$ de la función $f(x)=\tan (x)$.
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Sabemos que la estructura del Taylor que estamos buscando es esta:
$ p(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right) + f'\left(\frac{\pi}{4}\right)(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{f''\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2!}(x - \frac{\pi}{4})^2 $
Arrancamos entonces a buscar los elementos que necesitamos para completar nuestra respuesta:
$ f(x) = \tan(x) $
$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
Ahora arrancamos con las derivadas. Acordate que la derivada de $\tan(x)$ ya la calculamos en la guía de derivadas, salía con la regla del cociente usando que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ y era:
$ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} $
$ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 $
Vamos ahora con la derivada segunda, si usas regla del cociente te queda:
$f''(x) = \frac{2\cos(x) \sin(x)}{\cos^4(x)} = \frac{2 \sin(x)}{\cos^3(x)} $
$f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4$
Listooo! Reemplazamos ahora en la estructura de nuestro Taylor:
$ p(x) = 1 + 2(x - \frac{\pi}{4}) + \frac{4}{2}(x - \frac{\pi}{4})^2 $
$ p(x) = 1 + 2(x - \frac{\pi}{4}) + 2(x - \frac{\pi}{4})^2 $
Por lo tanto, este es el polinomio de Taylor que estábamos buscando :)